O problema seguinte foi colocado a alunos do terceiro ano, com oito anos de idade, numa escola de Bao Loc, no centro do Vietname.
Foi-lhes pedido que preenchessem os espaços em branco com os números de 1 a 9 para que, no final, o resultado fosse 66, utilizando operações elementares — adição, subtracção, multiplicação e divisão.
Uma solução:
Um aluno de oito anos sabe que subtrair 11 ao primeiro membro é o mesmo que adicionar 11 ao segundo membro. Idêntico procedimento para o 10.
Um aluno de oito anos sabe que subtrair 11 ao primeiro membro é o mesmo que adicionar 11 ao segundo membro. Idêntico procedimento para o 10.
Também sabe que pode trocar a ordem das parcelas. Obtém:
Agora o aluno tem de distribuir os números 1 a 9 pelos nove espaços vazios.
Agora o aluno tem de distribuir os números 1 a 9 pelos nove espaços vazios.
O maior múltiplo de 13 que o aluno pode escolher é 13x4 = 52. Se escolhesse 13x5 = 65, só podia multiplicar 12 por 2 e, mesmo assim, ficava com 65 + 24 = 89 que é superior a 87. Logo tem de escolher o múltiplo 52, ou um múltiplo ainda menor.
Suponhamos que o aluno escolhe o múltiplo 52. Então 52+36 = 88. Portanto o 12 só pode multiplicar por 2 e o 13 tem de multiplicar por 4 e dividir por 1:
Temos 52 + 24 = 76. Para 87 resta 11.
Temos 52 + 24 = 76. Para 87 resta 11.
O aluno ainda tem de distribuir os números 3, 5, 6, 7, 8 e 9. Qualquer um dos números 5 ou 7 não é divisor de nenhum dos outros; o 8 tem um divisor comum apenas com um dos outros. Como a última fracção também representa um número inteiro, o aluno não pode escolher 5, 7 ou 8 para denominador — só um dos números 3, 6 ou 9.
Se escolher o 3 para denominador, pode pôr como numerador 6x5, 6x7, 6x8, 6x9, ou 9x5, 9x7, 9x8, e a fracção representa, respectivamente, o número 10, 14, 16, 18, ou 15, 21, 24. Excepto no primeiro caso, são todos superiores a 11. Impossível.
No primeiro caso 10+1 = 11, então tem de adicionar dois dos números 7, 8 e 9 e subtrair o terceiro de modo a obter 1. Qualquer que seja o número escolhido para subtractivo, é impossível.
No primeiro caso 10+1 = 11, então tem de adicionar dois dos números 7, 8 e 9 e subtrair o terceiro de modo a obter 1. Qualquer que seja o número escolhido para subtractivo, é impossível.
Se escolher o 9 para denominador, tem de pôr 3x6 como numerador e a fracção representa o número 2.
Como 2+9 = 11, então tem de adicionar dois dos números 5, 7 e 8 e subtrair o terceiro de modo a obter 9. Qualquer que seja o número escolhido para subtractivo, é impossível.
Como 2+9 = 11, então tem de adicionar dois dos números 5, 7 e 8 e subtrair o terceiro de modo a obter 9. Qualquer que seja o número escolhido para subtractivo, é impossível.
Portanto o aluno tem de escolher o denominador 6. O numerador pode ser 3x8 ou 8x9 e a fracção representa, respectivamente, o número 4 ou 12. O último é superior a 11, logo impossível.
Como 4+7 = 11, então tem de adicionar dois dos números 5, 7 e 9 e subtrair o terceiro de modo a obter 7. Fácil: 5+9-7 = 7. O aluno obtém:
Outras soluções:
Como 4+7 = 11, então tem de adicionar dois dos números 5, 7 e 9 e subtrair o terceiro de modo a obter 7. Fácil: 5+9-7 = 7. O aluno obtém:
Outras soluções:
Por um raciocínio análogo, mas partindo do múltiplo 39, obtido pela multiplicação de 13 por 3 e divisão por 1, chegamos rapidamente a mais duas soluções:
Partindo do mesmo múltiplo 39, mas obtendo-o pela multiplicação de 13 por 9 e divisão por 3, chegamos a outra solução:
Finalmente, escolhendo o múltiplo 26, obtido pela multiplicação de 13 por 2 e divisão por 1, chegamos à quinta solução distinta:
Partindo do mesmo múltiplo 39, mas obtendo-o pela multiplicação de 13 por 9 e divisão por 3, chegamos a outra solução:
Finalmente, escolhendo o múltiplo 26, obtido pela multiplicação de 13 por 2 e divisão por 1, chegamos à quinta solução distinta:
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Há 9!/2! 2! = 90 720 arranjos diferentes dos números 1 a 9 pelos nove espaços vazios, mas a maioria não é solução do problema. Usando programas informáticos pode obter-se todas as soluções do problema, inclusive as que usam números fraccionários como esta:
Não era este, obviamente, o objectivo do problema. Pretendia-se levar os alunos a desenvolverem o raciocínio matemático, aplicando conceitos aprendidos.
Além de usar as quatro operações elementares, o aluno tem de saber que a multiplicação (ou a divisão) tem prioridade em relação à adição e à subtracção e dominar o cálculo mental.
Também tem de conhecer os conceitos 'múltiplo de um número' e 'divisor de um número' e saber simplificar uma fracção recorrendo aos factores comuns do numerador e do denominador.
Também tem de conhecer os conceitos 'múltiplo de um número' e 'divisor de um número' e saber simplificar uma fracção recorrendo aos factores comuns do numerador e do denominador.
Tudo conceitos que Nuno Crato introduziu nas metas do 1º ciclo mas há professores que não querem ensinar, ou não sabem, nem mesmo no 2º ciclo.
Nuno Crato tudo tem feito para que o futuro das crianças portuguesas seja tão promissor como o dos miúdos sul-coreanos, chineses, malaios ou vietnamitas.
No entanto, muitos pais querem que as crianças vão para a escola para brincar, não só no recreio mas também dentro da sala de aula. Depois culpem-se a si próprios, se o destino dos seus filhos for fazer a segurança ou as limpezas em empresas que os empresários chineses adquirirem em Portugal.
No entanto, muitos pais querem que as crianças vão para a escola para brincar, não só no recreio mas também dentro da sala de aula. Depois culpem-se a si próprios, se o destino dos seus filhos for fazer a segurança ou as limpezas em empresas que os empresários chineses adquirirem em Portugal.
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